Atome d’hydrogène (Markov)

Un atome d’hydrogène peut se trouver dans deux états différents, l’état stable (S) et l’état excité (E). À chaque nanoseconde, la probabilité qu’un atome passe de l’état stable à l’état excité est 0.01. Mais l’on ne connaît pas en revanche, la probabilité a de changement de l’état excité à l’état stable. On note a cette probabilité supposée constante.

Soit la chaîne de Markov (Xn) décrivant les états de l’atome.

1. Donner, en fonction de a, la matrice de transition (Xn) associée aux états S et E.
2. Après un temps très long, dans le milieu, la proportion d’atomes excités se stabilise autour de 2%. Déterminer la valeur de a.

Modélisation (Markov)

Une grenouille monte sur une échelle. Chaque minute, elle peut monter d’un barreau avec probabilité 1/2, ou descendre d’un barreau avec probabilité 1/2. L’échelle a 5 barreaux. Si la grenouille arrive tout en haut, elle saute en bas de l’échelle avec probabilité 1/2 ou redescend d’un barreau.

1. Représentez la matrice (ou le graphe) associé à cette chaîne de Markov.
2. Imaginons qu’à chaque instant la grenouille reste à son état actuel avec probabilité f. Comment est modifié le graphe / la matrice ?

Clustering

Soit les points A (2, 10) ; B (2,8) ; C (8,4) ; D (5,8) ; E (7,5) ; F (6,4) ; G (1,2) ; H (4,9)

1. Donner la répartition géométrique de ces points. Quels sont les clusters qu’on peut identifier visuellement ?
2. En prenant comme centroïdes initiaux les points A B et C, appliquer l’algorithme K-means pour regrouper les points en trois clusters (utiliser la distance euclidienne).
3. Est-il possible de minimiser le nombre d’itérations par un autre choix des centroides initiaux ? Justifier la réponse.